我们先现回到第二章的情型：

我们的目标是证明：有相同根系的两个半单李代数是同构的。 事实上，我们可以证明一个更为精确的论断——这给出一种特定自同构的构造。

单理想分解对应根系不可约分解

证明： 否则，设 $\mathrm{\Phi }={\mathrm{\Phi }}_1\cup {\mathrm{\Phi }}_2$ ， ${\mathrm{\Phi }}_i$ 非空且正交。若 $\alpha \in {\mathrm{\Phi }}_1,\beta \in {\mathrm{\Phi }}_2$ ，则 $(\alpha +\beta ,\alpha )=(\alpha ,\alpha )\ne 0$ 且 $(\alpha +\beta ,\beta )\ne 0$ ，从而 $\alpha +\beta \notin {\mathrm{\Phi }}_1\cup {\mathrm{\Phi }}_2=\mathrm{\Phi }$，故并非根。因此

（李括号在相加之中）这说明由 $L_{\alpha }(\alpha \in {\mathrm{\Phi }}_1)$ 张成的子代数 $K$ 被每个 $L_{\beta }(\beta \in {\mathrm{\Phi }}_2)$ 中心化；特别地， $K$ 是 $L$ 的真子代数，因为 $Z(L)=0$ 。

另一方面， $K$ 由各 $L_{\alpha }(\alpha \in {\mathrm{\Phi }}_1)$ 正规化，因此综上由各 $L_{\alpha }（\alpha \in \mathrm{\Phi })$ 正规化，综上由 $L$ 正规化（整性命题说明 $L$ 由各根空间生成），故 $K⊲L$ 为真理想，这与 $L$ 的单性矛盾。$◻$

证明： 首先

这是因若 $h=h_1+\cdots +h_t\in H$，$h^{\prime }=h_1^{\prime }+\cdots +h_t^{\prime }\in H$，则由 $H$ 是 Abel 代数知

因此 $[h_i,h_i^{\prime }]=0$，$\mathrm{\forall }1\le i\le t$；这给出 $[h_i,h^{\prime }]=0$ ，从而 $h_i\in C_L(H)=H$。

显然每个 $H_i$ 都是 $L_i$ 的环面子代数。事实上是极大的：任意更大的环面子代数在 $L$ 中当然是环面的，且中心化 各 $H_j$ （由中心化 $H$ ），$j\ne i$。并与它们一同生成一个比 $H$ 更大的环面子代数。矛盾。

令 ${\mathrm{\Phi }}_i$ 是 $L_i$ 关于 $H_i$ 在 $E_i$ 中的根系。若 $\alpha \in {\mathrm{\Phi }}_i$，即

我们可以将 $\alpha$ 当成 $H$ 上的一个线性函数：指定 $\alpha (H_j)=0$ ，$\mathrm{\forall }i\ne j$。则 $\alpha$ 当然是 $L$ 的一个关于 $H$ 的根，且 $L_{\alpha }=L_{\alpha }(i)\subset L_i$。

相反地，若 $\alpha \in \mathrm{\Phi }$，则 $[H_i,L_{\alpha }]\ne 0$ 对某些 $i$ 成立：否则 $H$ 将中心化 $L_{\alpha }$，得到 $0=\alpha \ne \mathrm{\Phi }$。于是 $L_{\alpha }=[H_i,L_{\alpha }]\subset L_i$，故 $\alpha {|}_{H_i}$ 是 $L_i$ 关于 $H_i$ 的一个根，且 $\alpha {|}_{H_j}=0$，$\mathrm{\forall }j\ne i$。

以上说明了 $\mathrm{\Phi }$、$E$ 可作命题所示的分解。 $◻$

这一推论，将原问题削到了单的情型：问题转为用单李代数的不可约根系刻画单李代数。

同构定理

小生成元集

我们先来找一些小的生成元。

证明： 对任意正根，第10节的推论给出 $\beta$ 可写为

的形式，且其前 $i$ 项和均为根。我们同时又由根空间性质命题知道 $[L_{\gamma },L_{\delta }]=L_{\gamma +\delta }$ ，$\mathrm{\forall }\gamma ,\delta ,\gamma +\delta \in \mathrm{\Phi }$。对 $s$ 归纳，我们可知 $L_{\beta }$ 位于 $L$ 由各 $L_{\alpha }(\alpha \in \mathrm{\Delta })$ 生成的子代数中。类似地，若 $\beta$ 是负根，则 $L_{\beta }$ 位于 $L$ 由各 $L_{-\alpha }(\alpha \in \mathrm{\Delta })$ 生成的子代数中。最后由 ${\displaystyle L=H\oplus \underset{\alpha \in \mathrm{\Phi }}{⨁}{L}_{\alpha }}$，且 ${\displaystyle H=\sum _{\alpha \in \mathrm{\Phi }}[L_{\alpha },L_{-\alpha }]}$ 得到命题。$◻$

回忆 $h_{\alpha }$ 是 $[L_{\alpha },L_{-\alpha }]$ 唯一使 $\alpha (h)$ 为 2 的元素。

若 $(L,H)$ 与 $(L^{\prime },H^{\prime })$ 是两个对子，每个对子都包含一个单李代数和一个极大环面子代数，我们想证明的是：相对应根系的一个同构可以诱导一个$L$ 到 $L^{\prime }$ 的同构，其将 $H$ 送到 $H^{\prime }$。

由定义，一个同构 $\mathrm{\Phi }\to {\mathrm{\Phi }}^{\prime }$ 由一个同构 $E\to E^{\prime }$ 诱导——不必等距。然而，如果将 $E$ 或 $E^{\prime }$ 的内积乘上一些正实数，根系公理不受影响，因此我们可以直接假设该根系同构由等距同构而来。

继续注意到一个同构 $\mathrm{\Phi }\to {\mathrm{\Phi }}^{\prime }$ 可唯一延伸为一个线性空间同构 $\psi :H^{\ast }\to H^{\prime \ast }$（由张成性）。反过来 $\psi$ 确定一个同构 $\pi :H\to H^{\prime }$——通过 Killing form 确定 $H$ 与 $H^{\prime }$ 的对偶线性基。更显式地说，若 $\alpha \to {\alpha }^{\prime }$ 确定一个映射 $\mathrm{\Phi }\to {\mathrm{\Phi }}^{\prime }$，则 $\pi (t_{\alpha })=t_{{\alpha }^{\prime }}^{\prime }$，这里 $t_{\alpha },t_{{\alpha }^{\prime }}^{\prime }$ 与 $\alpha ,{\alpha }^{\prime }$ 相关（通过 Killing form）。由于给定的同构来自相应欧氏空间的等距同构，我们还有 $\pi (h_{\alpha })=h_{{\alpha }^{\prime }}^{\prime }$，因为 $h_{\alpha }={\displaystyle \frac{2t_{\alpha }}{(\alpha ,\alpha )}}$。

由于 $H,H^{\prime }$ 是平凡代数，$\pi$ 甚至可看作李代数同构。所需的是找一个法子将 $\pi$ 延伸为同构 $L\to L^{\prime }$ （以后也记作 $\pi$）。如果这样的延伸存在，则其必将 $L_{\alpha }$ 送到 $L_{{\alpha }^{\prime }}^{\prime }$，对根 $\alpha$。

同构定理

这一定理很容易延伸到半单李代数的情型。我们附注：存在另一个更强的、由以上命题得出的同构定理的证明方法。具体来说，写下 $L$ 的一个显式表示，其生成元为 $x_{\alpha }$，$y_{\alpha }$，$h_{\alpha }$，选择关系使所有参与的常数只与根系 $\mathrm{\Phi }$ 有关。则任意其它单李代数 $L^{\prime }$ 若有与 $\mathrm{\Phi }$ 同构的根系就会同构于 $L$。

自同构

同构定理可以用于证明半单李代数自同构的存在：任一 $\mathrm{\Phi }$ 自同构确定一个 $H$ 自同构，从而延伸为 $L$ 自同构。

证明 ： 考虑将根送到其相反向量的自同构。则其在 $H$ 上诱导的映射将 $h$ 送到 $-h$ （由整性定理，$h_{\alpha }\mapsto h_{-\alpha }=-h_{\alpha }$）。特别地，若 $\sigma :H\to H$ 为此同构，则 $\sigma (h_{\alpha })=-h_{\alpha }$。为了应用上述定理，我们固定 $x_{\alpha }$ 应被送到 $-y_{\alpha }\in L_{-\alpha }$（注意唯一使 $[-y_{\alpha },z]=h_{-\alpha }$ 的 $z$ 有且只有 $-x_{\alpha }$）。由定理，$\sigma$ 可延伸为一个把 $x_{\alpha }$ 送到 $-y_{\alpha }$ 的自同构。前述的附注说明 $y_{\alpha }$ 被送到 $-x_{\alpha }$。

此外，$\sigma$ 是二阶的，因为其固定 $L$ 的一个生成元集。 $◻$

$\mathrm{\Phi }$ 的 Weyl 群对绝大多数自同态都很重要：回忆 $\mathrm{Aut}(\mathrm{\Phi })=\mathcal{W}⋉\mathrm{\Gamma }$。同构定理保证了 $L$ 的相应自同态的存在性，这将 $\mathcal{W}$ 对 $H$ 的作用延拓。若 $\sigma \in \mathcal{W}$，容易看出将 $\sigma$ 延拓到 $L$ 的自同构必须将 $L_{\beta }$ 打到 $L_{\sigma (\beta )}$（当然数乘关系有多种可能）。

这种用 $\mathrm{Int}(L)$ 表示反射的方法有一种不可避免的缺点：并没有 $\mathcal{W}<\mathrm{Int}(L)$ 这么一回事。